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Das `!N-Körper-Problem`! ist eine physikalische Problemstellung der `F33f`_`[klassischen Mechanik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Klassische_Mechanik]`_`f, die das Aufstellen von `F33f`_`[Bewegungsgleichungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bewegungsgleichungen]`_`f für jeden einzelnen `F33f`_`[Massenpunkt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Massenpunkt]`_`f als Ziel hat. Das N-Körper-Problem wird meist von Astronomen verwendet, um die Bewegung von `F33f`_`[Planeten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Planeten]`_`f, Sternen, Satelliten etc. zu simulieren. Daher wird auch heute noch in der `F33f`_`[Astronomie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Astronomie]`_`f für einfache Berechnungen das klassische N-Körper-Problem verwendet. Bei Simulationen spricht man von der `!`F33f`_`[N-Körper-Simulation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=N-Körper-Simulation]`_`f`!.
Das N-Körper-Problem der `F33f`_`[allgemeinen Relativitätstheorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Allgemeine_Relativitätstheorie]`_`f ist um einiges schwerer zu lösen als das der `F33f`_`[klassischen Mechanik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Klassische_Mechanik]`_`f, weshalb für viele Simulationen weiterhin das klassische Modell verwendet wird.
Der wichtigste Spezialfall des N-Körper-Problems ist das `F33f`_`[Zweikörperproblem`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zweikörperproblem]`_`f ( N = 2 {\\displaystyle N=2} ), das schon im 17. Jahrhundert gelöst und fortan zur `F33f`_`[Bahnberechnung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bahnberechnung]`_`f von zwei umeinander kreisenden Himmelskörpern verwendet wurde.
>>Contents
• `F0af`_`[Allgemeine Formulierung`#allgemeine-formulierung]`_`f
• `F0af`_`[Spezialfälle`#spezialf-lle]`_`f
• `F0af`_`[Das Zweikörperproblem`#das-zweik-rperproblem]`_`f
• `F0af`_`[Das Dreikörperproblem`#das-dreik-rperproblem]`_`f
• `F0af`_`[Allgemeine Lösung`#allgemeine-l-sung]`_`f
• `F0af`_`[Das N-Teilchenproblem mit der Taylor-Reihe`#das-n-teilchenproblem-mit-der-taylor-reihe]`_`f
• `F0af`_`[Simulation`#simulation]`_`f
• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f
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>>Allgemeine Formulierung
Gegeben seien n {\\displaystyle n} Punktmassen m i {\\displaystyle m_{i}} ( i = 1 , … … , n {\\displaystyle i=1,\\dots ,n} ), die sich im dreidimensionalen Raum R 3 {\\displaystyle \\mathbb {R} ^{3}} unter ihrem gegenseitigen gravitativen Einfluss bewegen. Die Position des i {\\displaystyle i} -ten Massenpunkts sei durch den Ortsvektor r → → i {\\displaystyle {\\vec {r}}_{i}} gegeben.
Nach dem `F33f`_`[zweiten Newtonschen Gesetz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Newtonsche_Gesetze]`_`f ist
m i d 2 r → → i d t 2 {\\displaystyle m_{i}{\\frac {\\mathrm {d} ^{2}{\\vec {r}}_{i}}{\\mathrm {d} t^{2}}}}
gleich der Summe der auf das Teilchen i {\\displaystyle i} wirkenden Kräfte, in diesem Fall also der Gravitationskräfte aller anderen Teilchen auf das i {\\displaystyle i} -te.
Die gravitative Wechselwirkung zwischen dem i {\\displaystyle i} -ten und dem j {\\displaystyle j} -ten Teilchen ist nach dem `F33f`_`[Newtonschen Gravitationsgesetz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Newtonsches_Gravitationsgesetz]`_`f gegeben durch`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f]
F → → i j = G m i m j | r → → i − − r → → j | 3 ( r → → i − − r → → j ) . {\\displaystyle {\\vec {F}}_{ij}=G{\\frac {m_{i}m_{j}}{|{\\vec {r}}_{i}-{\\vec {r}}_{j}|^{3}}}({\\vec {r}}_{i}-{\\vec {r}}_{j}).}
Damit können wir die Bewegungsgleichungen wie folgt schreiben:
m i d 2 r → → i d t 2 = ∑ ∑ j = 1 , i ≠ ≠ j N G m i m j | r → → i − − r → → j | 3 ( r → → i − − r → → j ) = − − ∂ ∂ V ∂ ∂ r → → i {\\displaystyle m_{i}{\\frac {\\mathrm {d} ^{2}{\\vec {r}}_{i}}{\\mathrm {d} t^{2}}}=\\sum _{j=1,i\\neq j}^{N}G{\\frac {m_{i}m_{j}}{|{\\vec {r}}_{i}-{\\vec {r}}_{j}|^{3}}}({\\vec {r}}_{i}-{\\vec {r}}_{j})=-{\\frac {\\partial V}{\\partial {\\vec {r}}_{i}}}}
Wobei das `F33f`_`[Potential`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Potential_(Physik)]`_`f V {\\displaystyle V} gegeben ist durch
V = − − ∑ ∑ 1 ≤ ≤ j < k ≤ ≤ N G m j m k | r → → j − − r → → k | . {\\displaystyle V=-\\sum _{1\\leq j<k\\leq N}G{\\frac {m_{j}m_{k}}{|{\\vec {r}}_{j}-{\\vec {r}}_{k}|}}.}
Mit dem kanonischen Impuls
p → → i = m i d r → → i d t {\\displaystyle {\\vec {p}}_{i}=m_{i}{\\frac {\\mathrm {d} {\\vec {r}}_{i}}{\\mathrm {d} t}}}
und den kanonischen Koordinaten q → → i = r → → i {\\displaystyle {\\vec {q}}_{i}={\\vec {r}}_{i}} lassen sich die `F33f`_`[Hamiltonschen Bewegungsgleichungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kanonische_Gleichungen]`_`f durch`:cite-ref-2[`F5bf`_`[2`#cite-note-2]`_`f]:
d q i d t = ∂ ∂ H ∂ ∂ p i und d p i d t = − − ∂ ∂ H ∂ ∂ q i {\\displaystyle {\\frac {d\\mathbf {q} _{i}}{dt}}={\\frac {\\partial H}{\\partial \\mathbf {p} _{i}}}\\quad {\\text{und}}\\quad {\\frac {d\\mathbf {p} _{i}}{dt}}=-{\\frac {\\partial H}{\\partial \\mathbf {q} _{i}}}}
schreiben, wobei die `F33f`_`[Hamilton-Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hamilton-Funktion]`_`f durch
H = T + V {\\displaystyle H=T+V}
definiert ist. T {\\displaystyle T} ist hierbei die `F33f`_`[kinetische Energie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kinetische_Energie]`_`f des Systems:
T = ∑ ∑ i = 1 N | p i | 2 2 m i . {\\displaystyle T=\\sum _{i=1}^{N}{\\frac {|p_{i}|^{2}}{2m_{i}}}.}
Aus den Hamilton-Gleichungen erkennen wir, dass das N {\\displaystyle N} -Körperproblem durch ein System von 6 N {\\displaystyle 6N} `F33f`_`[expliziten gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gewöhnliche_Differentialgleichung]`_`f beschrieben werden kann.
>>Spezialfälle
>>>Das Zweikörperproblem
→
Hauptartikel
:
Zweikörperproblem
Das Zweikörperproblem ist besonders in der Astronomie von herausragender Bedeutung, da es mit sehr großer Genauigkeit die Umlaufbahnen zweier `F33f`_`[Planeten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Planet]`_`f etc. beschreiben kann.
>>>>Bewegung des Schwerpunkts
Um das Zweikörperproblem zu lösen, stellen wir zuerst die Newtonschen Bewegungsgleichungen der zwei Teilchen auf:
F → → 12 = m 1 r → → ¨ ¨ 1 und F → → 21 = m 2 r → → ¨ ¨ 2 . {\\displaystyle {\\vec {F}}_{12}=m_{1}{\\ddot {\\vec {r}}}_{1}\\quad {\\text{und}}\\quad {\\vec {F}}_{21}=m_{2}{\\ddot {\\vec {r}}}_{2}.}
Durch Addition der beiden Bewegungsgleichungen erhalten wir:
m 1 r → → ¨ ¨ 1 + m 2 r → → ¨ ¨ 2 = F → → 12 + F → → 21 = 0. {\\displaystyle m_{1}{\\ddot {\\vec {r}}}_{1}+m_{2}{\\ddot {\\vec {r}}}_{2}={\\vec {F}}_{12}+{\\vec {F}}_{21}=0.}
Nach Einführung von `F33f`_`[Schwerpunktkoordinaten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Schwerpunktsystem]`_`f können wir das Zweikörperproblem durch
m 1 r → → ¨ ¨ 1 + m 2 r → → ¨ ¨ 2 = ( m 1 + m 2 ) R → → ¨ ¨ ⇒ ⇒ R → → ¨ ¨ = m 1 r → → ¨ ¨ 1 + m 2 r → → ¨ ¨ 2 m 1 + m 2 = 0. {\\displaystyle m_{1}{\\ddot {\\vec {r}}}_{1}+m_{2}{\\ddot {\\vec {r}}}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\\ddot {\\vec {R}}}\\quad \\Rightarrow \\quad {\\ddot {\\vec {R}}}={\\frac {m_{1}{\\ddot {\\vec {r}}}_{1}+m_{2}{\\ddot {\\vec {r}}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=0.}
Der Schwerpunkt des Zweikörpersystems bewegt sich also geradlinig gleichförmig.
>>>>Bewegung der Massenpunkte
Neben der Bestimmung der Schwerpunktbewegung wird manchmal auch die Bestimmung der Bewegung der einzelnen `F33f`_`[Massenpunkte`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Massenpunkt]`_`f als Zweikörperproblem bezeichnet. Dieses Problem ist mathematisch aufwendiger, weshalb hier nur der Lösungsweg skizziert wird.
Aus der Differentialgleichung
μ μ r → → ¨ ¨ = F → → 12 ( x 1 , x 2 ) = F → → ( r ) {\\displaystyle \\mu {\\ddot {\\vec {r}}}={\\vec {F}}_{12}(x_{1},x_{2})={\\vec {F}}(r)}
erhalten wir r → → ( t ) {\\displaystyle {\\vec {r}}(t)} . Damit reduziert sich das Zweikörperproblem auf die Bestimmung von r → → {\\displaystyle {\\vec {r}}} und von R → → {\\displaystyle {\\vec {R}}} .
Wenn diese bekannt sind, lässt sich die Bewegung der Massenpunkte durch
x → → 1 ( t ) = R → → ( t ) + m 2 m 1 + m 2 r → → ( t ) {\\displaystyle {\\vec {x}}_{1}(t)={\\vec {R}}(t)+{\\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\\vec {r}}(t)}
und
x → → 2 ( t ) = R → → ( t ) − − m 1 m 1 + m 2 r → → ( t ) {\\displaystyle {\\vec {x}}_{2}(t)={\\vec {R}}(t)-{\\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\\vec {r}}(t)}
bestimmen.
>>>Das Dreikörperproblem
→
Hauptartikel
:
Dreikörperproblem
Newton hat bereits im Jahr 1687 in seiner „`F33f`_`[Principia`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Principia_Mathematica]`_`f“ die ersten Definitionen und Sätze zum Dreikörperproblem eingeführt. Seitdem wurden bereits zahlreiche spezielle Lösungen gefunden. Die erste dieser Lösungen wurde im Jahr 1767 von `F33f`_`[Leonhard Euler`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Leonhard_Euler]`_`f gefunden. Bereits fünf Jahre später (1772) hat der Physiker `F33f`_`[Joseph-Louis Lagrange`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Joseph-Louis_Lagrange]`_`f eine weitere Lösung für Objekte, die ein gleichseitiges Dreieck bilden, gefunden. Bei dieser Lösung wurden auch erstmals die `F33f`_`[Lagrange-Punkte`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lagrange-Punkte]`_`f eingeführt.
Für das allgemeine Dreikörperproblem existieren keine geschlossenen analytischen Lösungen, da die Bewegung der Körper für die meisten Anfangswerte ein chaotisches System bilden und somit auf numerische Lösungen zurückgegriffen werden müssen.`:cite-ref-3[`F5bf`_`[3`#cite-note-3]`_`f] Im Allgemeinen ist die Bewegung der Körper auch nicht-periodisch.
>>Allgemeine Lösung
In der physikalischen Literatur wird das `*N`*-Körperproblem manchmal als „unlösbar“ bezeichnet. Diese Formulierung ist allerdings mit Vorsicht zu genießen, da „unlösbar“ nicht scharf definiert ist. Für das `*N`*-Körperproblem mit N > 2 {\\displaystyle N>2} zeigte `F33f`_`[Henri Poincaré`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Henri_Poincaré]`_`f, dass es keine `*geschlossene Lösung`* (wie zum Beispiel die elliptischen Bahnen des gebundenen Keplerproblems) geben kann.
>>>Das N-Teilchenproblem mit der Taylor-Reihe
Das N-Teilchenproblem lässt sich u. a. durch das Einführen einer `F33f`_`[Taylor-Entwicklung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Taylor-Entwicklung]`_`f lösen.`:cite-ref-p-ppe1997-4-0[`F5bf`_`[4`#cite-note-p-ppe1997-4]`_`f]
Wir definieren unser System von Differentialgleichungen wie folgt:
d 2 d t 2 r → → i ( t ) = G ∑ ∑ k = 1 k ≠ ≠ i n m k ( r → → k ( t ) − − r → → i ( t ) ) | r → → k ( t ) − − r → → i ( t ) | 3 . {\\displaystyle {\\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\\vec {r}}_{i}(t)=G\\sum _{k=1 \\atop k\\neq i}^{n}{\\frac {m_{k}\\left({\\vec {r}}_{k}(t)-{\\vec {r}}_{i}(t)\\right)}{\\left|{\\vec {r}}_{k}(t)-{\\vec {r}}_{i}(t)\\right|^{3}}}.}
Da r → → i ( t 0 ) {\\displaystyle {\\vec {r}}_{i}(t_{0})} und d r → → i d t ( t 0 ) {\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {d} {\\vec {r}}_{i}}{\\mathrm {d} t}}(t_{0})} als Anfangswerte bekannt sind, kennen wir auch d 2 r → → i d t 2 {\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {d} ^{2}{\\vec {r}}_{i}}{\\mathrm {d} t^{2}}}} . Durch erneutes Differenzieren kennen wir dann auch die höheren Ableitungen, wodurch die Taylor-Reihe als Ganzes bekannt ist. Es bleibt aber zu zeigen, was der `F33f`_`[Konvergenzradius`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Konvergenzradius]`_`f dieser Reihe ist und dafür insbesondere wie sie sich in Anbetracht der `F33f`_`[Polstellen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Polstelle]`_`f (die rechte Seite der Bewegungsgleichung divergiert, wenn sich zwei Massenpunkte beliebig nahe kommen) verhält. Der chinesische Physiker Wang Qiu-Dong löste diese Frage 1991`:cite-ref-5[`F5bf`_`[5`#cite-note-5]`_`f] indem er die Zeitkoordinate so transformierte, dass Singularitäten nur bei t → → ∞ ∞ {\\displaystyle t\\to \\infty } auftreten. Die gefundene Lösung ist allerdings nicht von praktischer Bedeutung, da die so gefundenen Reihen extrem langsam konvergieren.`:cite-ref-p-ppe1997-4-1[`F5bf`_`[4`#cite-note-p-ppe1997-4]`_`f] Auch neue theoretische Aussagen, zum Beispiel über die Stabilität des `*N`*-Körperproblems, haben sich aus dieser Lösung bisher nicht ergeben.
>>Simulation
Neben der analytischen Lösung von N-Körper-Problemen gibt es auch numerische Methoden. Mit diesen lassen sich viele analytisch nur schwer lösbare Probleme recht einfach näherungsweise lösen.
>>Einzelnachweise
`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f Grundkurs Theoretische Physik 1. In: Springer-Lehrbuch. 2006, `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.1007/978-3-540-34833-7.
`:cite-note-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-2]`_`f V. Analytische Mechanik. In: Theoretische Physik / Mechanik. DE GRUYTER, Berlin, Boston, ISBN 978-3-11-083533-5, S. 102–123, `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.1515/9783110835335.102.
`:cite-note-3`!3.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-3]`_`f Timothy Gowers, June Barrow-Green, Imre Leader: V.33 The Three-Body Problem. In: The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press, Princeton 2010, ISBN 978-1-4008-3039-8, S. 726–728, `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.1515/9781400830398.726 (englisch).
`:cite-note-p-ppe1997-4`!4.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-p-ppe1997-4-0]`_`f Christoph Pöppe: Die Lösung des n-Körper-Problems. In: Spektrum der Wissenschaft. Nr. 1, 1997, S. 24 (spektrum.de).
`:cite-note-5`!5.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-5]`_`f Wang Qiu-Dong: The Global Solution of the n-Body Problem. In: Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. Band 50, 1991, S. 73–88.
`c`F0af`_`[↑ Back to top`#top]`_`f`a